传递函数与干预分析模型复习

发表于 2022-12-10 更新于 2022-12-25 分类于经济预测与决策，经济预测技术阅读次数：

复习传递函数与干预分析模型

参考书：经济预测与决策技术武汉大学出版社第四版

传递函数

传递函数的基本模型

设$Y_t=\nu(B)X_t+e_t$，这里

$Y_t$为输出序列，是因变量
$X_t$为输入序列，是解释变量
$e_t$为噪声。

$\nu(B)$是一个算子多项式，$B$是一个后移算子，$\nu_0,\nu_1,\cdots$称为脉冲响应权或传递函数的权，$e_t$是一个随机变量，其均值为0，方差固定，而且与$X_t,X_{t-1},\cdots$独立。

$X_t$在模型中不仅是解释变量，而且时间上对$Y_t$上来说，还是一个领先指标。例如，广告费用支出$X_t$将影响销售收入$Y_{t+k},Y_{t_k+1}$等等，也就是说，$X_t$对$Y_t$的影响提前$k$个时期。

但是算子多项式$\nu(B)$有无限多项，不符合节省的建模原则。对此，Jorgenson指出：在某些一般性的条件下，可以用算子$B$的两个有限的有理多项式之比来估计$\nu(B)$，即

$\nu(B)=\frac{\omega(B)}{\delta(B)}$
$\omega(B)=\omega_0-\omega_1 B - \cdots - \omega_s B^s$
$\delta(B)=1-\delta_1 B - \cdots - \delta_r B^r$

设$b$为$X_t$对$Y_t$影响的超前时期，那么传递函数模型就可以写成$Y_t=\frac{\omega(B)}{\delta(B)}X_{t-b}+e_t$

但是$e_t$不一定是白噪声，但是假定$e_t$是同解释变量$X_t$是统计独立的，因而用$ARMA(p,q)$模型去表示$e_t$是完全有可能的，即是有$\nabla^d e_t = \frac{\theta(B)}{\varphi(B)}a_t$，$\nabla^d$是$d$阶连续差分算子。
引入他的目的在于使$e(t)$满足平稳性，$a_t$是白噪声，$\varphi(B)$与$\theta(B)$分别满足平稳性与可逆性条件。

这样传递函数模型就可以写成：

$$y_t = \frac{\omega(B)}{\delta(B)}x_{t-b}+\frac{\theta(B)}{\varphi(B)}a_t$$

其中
$y_t=\nabla ^{d’}Y_t,x_t=\nabla ^d X_t$，均表示为平稳的随机过程。
$d’$是使$y_t$平稳的连续差分算子的阶数，$d$是使$X_t$平稳的连续差分算子的阶数。
并且为了满足平稳性与可逆性条件，$\omega_i(B),\delta_i(B),\varphi(B),\theta(B)$的跟均在单位圆外。

完整的传递函数模型如下：

上述模型可以推广到含多个解释变量的情况，因而更一般的传递函数模型可以写成：

$$y_t=\sum\limits_{i=1}^m \frac{\omega_i(B)}{\delta_i(B)}x_{it-b}+\frac{\theta(B)}{\varphi(B)}a_t$$

这里$m$是解释变量的个数。同时假定$\omega_i(B),\delta_i(B),\varphi(B),\theta(B)$的根都在单位圆外。

互协方差与互相关函数的基本概念

设$x_t,y_t$是平稳序列，$x_t$是输入，$y_t$是输出。已知$Ex_t = m_x, Ey_t = m_y$

则称$r_{xy}(k)=E(x_t-m_x)(y_{t+k}-m_y)$为平稳序列$x_t$与$y_t$的互协方差函数。

互协方差函数和自协方差函数有很大的区别，例如互协方差函数$r_{xy}(k)$没有关于$k$的对称性，即$r_{xy}(k) \neq r_{xy}(-k)$

两平稳序列的互相关函数是由互协方差函数定义的，记为$\rho_{xy}(k)$

$$\rho_{xy}(k)=\frac{r_{xy}(k)}{\sigma_x \sigma_y} , k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

我们不仅关注理论上的两个变量之间的互协方差和互相关，更关心样本互协方差和互相关，样本互协方差定义为

$$\hat{r_{xy}}(k) = \begin{cases}
\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n-k} (x_t - \bar{x})(y_{t+k}-\bar{y}) & k=0,1,2,\cdots \\
\frac{1}{n} \sum_{t=1-k}^{n} (x_t - \bar{x})(y_{t+k}-\bar{y}) & k=-1,-2,\cdots \\
\end{cases}$$

这里$\bar{x},\bar{y}$是样本$x_t,y_t$的均值，$n$是原始数据经过差分运算化为平稳数据的有效观测数据数，由此，得到样本的互相关函数为
$$\hat{\rho_{xy}}(k)=\frac{\hat{r_{xy}}(k)}{S_xS_y}$$
其中$S_x,S_y$分别表示$x_t,y_t$的样本标准差

回忆：样本标准差$S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n(x_k - \bar{x})^2}$

一些互相关函数的例子

下面均假设$x_t,y_t$是零均值的平稳随机序列，以及输入$x_t$与未来噪声$e_{t+k}$不相关，即$Ex_te_{t+k}=0,k>0$。

eg1:设$x_t$是白噪声，满足$y_t = \omega_0x_{t-b}+e_t$，$e_t$是误差，$x_t$与未来的误差$e_{t+k}$无关，计算$x_t$和$y_t$的互协方差函数与互相关函数。

$r_{xy}(k)=Ex_ty_{t+k}=E x_t(\omega_0x_{t+k-b}+e_{t+k})=\omega_0Ex_tx_{t+k-b}$

由于$x_t$是白噪声，故协方差函数为：

$$r_{xy}(k)=\begin{cases}
\omega_0 \sigma_x^2 & k=b \\
0 & otherwise \\
\end{cases}$$

$\sigma_x^2$是$x_t$的方差，其互相关函数为

$$\rho_{xy}(k)=\begin{cases}
\omega_0 \frac{\sigma_x}{\sigma_y} & k=b \\
0 & otherwise \\
\end{cases}$$

eg2:计算$y_t=\frac{\omega_0}{1-\delta_1B}x_{t-b}+e_t$的互协方差和互相关

若$|\delta_1|<1$，可将此模型写成无穷序列和的形式

$$y_t=\omega_0\sum_{i=0}^\infty \delta_1^ix_{t-b-i}+e_t$$

则互协方差函数$r_{xy}(k)$可写成

$$r_{xy}(k)=Ex_t(\omega_0\sum_{i=0}^\infty \delta_1^ix_{t+k-b-i})$$

由于$x_t$与$e_{t+k}$无关，且$x_t$是白噪声，故

$$r_{xy}(k)=E(\omega_0 \sum_{i=0}^\infty \delta_1^i x_t x_{t+k-b-i}) = \omega_0E_tx_{t+k-b}+\omega_0 \delta_1 Ex_tx_{t+k-b-1} + \cdots $$

因此有

$$r_{xy}(k)=\begin{cases}
0 & k<b \\
\omega_0 \sigma_x^2 & k=b \\
\omega_0 \delta_1^j \sigma_x^2 & k=b+j, j>0 \\
\end{cases}$$

$$\rho_{xy}(k)=\begin{cases}
0 & k<b \\
\omega_0 \frac{\sigma_x}{\sigma_y} & k=b \\
\omega_0 \delta_1^j \frac{\sigma_x}{\sigma_y} & k=b+j, j>0 \\
\end{cases}$$

eg3:计算$y_t = \omega_0 x_{t-b} - \omega_1x_{t-b-1}+e_t$的互协方差和互相关

$r_{xy}(k)=Ex_t(\omega_0x_{t+k-b} - \omega_1 x_{t+k-b-1} + e_{t+k}) = \omega_0Ex_tx_{t+k-b} - \omega_1 Ex_t x_{t+k-b-1}$

因此有

$$r_{xy}(k)=\begin{cases}
\omega_0 \sigma_x^2 & k=b \\
-\omega_1 \sigma_x^2 & k=b+1 \\
0 & otherwise \\
\end{cases}$$

$$\rho_{xy}(k)=\begin{cases}
\omega_0 \frac{\sigma_x}{\sigma_y} & k=b \\
-\omega_1 \frac{\sigma_x}{\sigma_y} & k=b+1 \\
0 & otherwise \\
\end{cases}$$

eg4:计算$y_0=\frac{\omega_0-\omega_1B}{1-\delta_1B}x_{t-b}+e_t$的互协方差和互相关函数

上式可以拆为:$y_0 = \frac{\omega_0}{1-\delta_1B}x_{t-b} - \frac{\omega_1}{1-\delta_1B} x_{t-b-1} + e_t = \omega_0 \sum\limits_{i=0}^\infty \delta_1^i x_{t-b-i} + \omega_1 \sum\limits_{i=0}^\infty \delta_1^i x_{t-b-i-1} + e_t$

$r_{xy}(k)=E\omega_0x_t\sum\limits_{i=0}^\infty \delta_1^i x_{t+k-b-i} - E\omega_1x_t \sum\limits_{i=0}^\infty x_{t+k-b-i-1}$

因此有
$$r_{xy}(k)=\begin{cases}
0 & k<b \\
\omega_0 \sigma_x^2 & k=b \\
\omega_0 \delta_1 \sigma_x^2-\omega_1 \sigma_x^2 & k=b+1 \\
\omega_0 \delta_1^j\sigma_x^2 - \omega_1 \delta_1^{j-1}\sigma_x^2 & k=b+j,j>0
\end{cases}$$

$$\rho_{xy}(k)=\begin{cases}
0 & k<b \\
\omega_0 \frac{\sigma_x}{\sigma_y} & k=b \\
\omega_0 \delta_1 \frac{\sigma_x}{\sigma_y}-\omega_1 \frac{\sigma_x}{\sigma_y} & k=b+1 \\
\omega_0 \delta_1^j\frac{\sigma_x}{\sigma_y} - \omega_1 \delta_1^{j-1}\frac{\sigma_x}{\sigma_y}& k=b+j,j>0
\end{cases}$$

传递函数模型的识别步骤

step1:对原始的输入输出序列进行平稳性处理
step2:白化输入序列与漂白输出序列
step3:计算白化序列$\alpha_t$与漂白序列$\beta_t$的互相关
step4:估计脉冲响应权
step5:对$(r,s,b)$的识别
step6:噪声序列$e_t$的计算
step7:对噪声序列$e_t$进行识别，建立$ARMA(p,q)$模型

干预模型分析

干预分析模型的基本变量都是干预变量，它由阶跃函数和点函数表示，即

$$S_t^T =\begin{cases}
0 & 干预事件发生之前，即当t<T时 \\
1 & 干预事件发生之后，即当t \ge T时
\end{cases}$$

这种干预变量一旦发生，就会长期产生影响，故称这种变量为持续的干预变量。

但是，有些干预影响只有暂时性，而无持续性

例如：某种促销广告，进在某一段时间内影响销售量，这种干预变量可表示为：

$$P_t^T =\begin{cases}
0 & 干预事件发生之前，即当t=T时 \\
1 & 干预事件发生之后，即当t \ne T时
\end{cases}$$

上述两类干预变量虽然表示形式不同，但是他们之间有如下的内在联系，即$(1-B)S_t^T = P_t^T$

这里的$B$是后移算子，有$BS_t^T = S_{t-1}^T$

干预事件的影响突然开始，长期持续下去的模型：

设干预对因变量的影响是固定的，从某一时刻$T$开始，但影响的程度是未知的，单因变量的大小是位置的。这种影响可以概括为以下的干预模型：
$$Y_t = \omega S_t^T$$
这里的$Y_t$是干预的输出，$\omega$是位置参数。值得注意的是有的时候$Y_t$不一定是平稳的，而且要求通过差分化为平稳，这样就把干预模型调整为
$$(1-B)Y_t = \omega S_t^T$$
有的时候不一定干预出现就立即产生影响，甚至要滞后若干个时期才产生影响，如$b$个时期，那么模型就可以修改为
$$Y_t = \omega B^bS_t^T$$