线性系统理论复习

复习线性系统理论

Ch2

能控性分解：对不完全能控的系统

假如有$\dot{x}=Ax+Bu$
令$Q_c=[B,AB,\cdots A^{n-1}B]$，从中取出$k$个线性无关的列$t_1,\cdots t_k$，令$T_1=[t_1,\cdots t_k]$。再任选$n-k$个线性无关的向量$t_{k+1},\cdots, t_n$，令$T_2=[t_{k+1},\cdots, t_n]$
令$T=[T_1 ~~ T_2]$
则

$$\hat{A}=T^{-1}AT=
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22}
\end{bmatrix}
$$

$$\hat{B}=T^{-1}B=
\begin{bmatrix}
B_{1} \\
0
\end{bmatrix}
$$

则对于不完全能控系统，存在非奇异线性变换$x=T\hat{x}$，使系统按能控性分解的规范表达式为：

$$
\begin{bmatrix}\dot{x_1} \\\dot{x_2}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x_1} \\{x_2}
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\0
\end{bmatrix} u
$$
其中$n-k$维子系统：$\dot{x_2}=A_{22}x_2$ 完全不能控
$k$维子系统$\dot{x_1}=A_{11}x_1+A_{12}x_2+B_1u$是完全能控的。

能控规范形：对单输入-单输出的完全能控的系统

考虑完全能控的单输入-单输出系统：

$$\begin{matrix}
\dot{x}=Ax+bu \\
y=cx
\end{matrix}$$
其中$A$为$n\times n$常阵，$b,c$分别为$n\times 1 , 1 \times n$的常阵。由于系统完全能控，有$rank[b ~ Ab ~ \cdots ~ A^{n-1}b]=n$
令其特征多项式为：$det(sI-A)=\alpha(s)=s^n+a_{n-1}s^{n-1}+ \cdots + a_1s+a_0$
构造变换矩阵
$$P=[e_1 ~ e_2 ~ \cdots ~ e_n]=[A^{n-1}b ~ \cdots ~ Ab ~ b]\begin{bmatrix}
1 & & \\
a_{n-1} & \ddots\\
\vdots &\ddots & \ddots \\
a_1 &\cdots & a_{n-1}& 1\\
\end{bmatrix}
$$

引入非奇异线性变换$x=P\bar{x}$，可以导出其能控规范型：

$$\begin{matrix}
\dot{\bar{x}}=A_c\bar{x}+b_cu \\ y=c_c\bar{x}
\end{matrix}$$

其中
$$A_c=P^{-1}AP=\begin{bmatrix}
0 & 1& \\
\vdots & &\ddots\\
0 & & & 1 \\
-a_0 &-a_1 & \cdots& -a_{n-1}\\
\end{bmatrix},b_c=P^{-1}b= \begin{bmatrix}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}
$$
$$c_c=cP=[\beta_0 ~ \beta_1 ~ \cdots ~ \beta_{n-1}]$$

Ch3

闭环极点配置问题

给定线性定常系统$\dot{x}=Ax+Bu$，其中$x$为$n$维状态向量，$u$为$p$维控制向量，$A,B$分别是$n\times n, n\times p$阶常阵。再给定$n$个所期望的闭环系统的极点$\alpha_1,\cdots \alpha_n$，其中复数共轭出现。我们想确定状态反馈$u=Kx+v$，使得所导出的闭环系统$\dot{x}=(A+BK)x+Bv$的极点为$\alpha_1,\cdots \alpha_n$。

对于单输入单输出的系统来说，可以如下进行极点配置：

计算$A$的特征多项式$det(sI-A)=\alpha(s)=s^n+a_{n-1}s^{n-1}+ \cdots + a_1s+a_0$

计算$\alpha(s)=(s-\alpha_1)\cdots (s-\alpha_n)=s^n+\bar{a}_{n-1}s^{n-1}+\cdots \bar{a}_1s+\bar{a}_0$

计算$\hat{K} = [a_0 - \bar{a} _0 ~ a_1 - \bar{a} _1 ~ a _{n-1} - \bar{a} _{n-1}]$

计算$T$以及$T^{-1}$，其中

$$T=[e_1 ~ e_2 ~ \cdots ~ e_n]=[A^{n-1}b ~ \cdots ~ Ab ~ b]\begin{bmatrix}
1 & & \\
a_{n-1} & \ddots\\
\vdots &\ddots & \ddots \\
a_1 &\cdots & a_{n-1}& 1\\
\end{bmatrix}
$$

计算反馈矩阵$K=\hat{K}T^{-1}$

Ch4

能观性分解：对不完全能观的系统

考虑不完全能观的线性定常系统：
$$\begin{matrix}
\dot{x}=Ax+Bu \\
y=Cx
\end{matrix}$$
令$Q_O=\begin{bmatrix}
C \\
CA \\
\vdots \\
CA^{n-1} \\
\end{bmatrix}$，选取$m$个线性无关的行$h_1,h_2,\cdots h_m$，记$H=\begin{bmatrix}
h_1 \\
h_2 \\
\vdots \\
h_m\\
\end{bmatrix}$

再任取$n-m$个与$H_1$线性无关的行向量$h_m+1,\cdots h_m$，记$H_2=\begin{bmatrix}
h_{m+1} \\
h_{m+2} \\
\vdots \\
h_n\\
\end{bmatrix}$
令$T=\begin{bmatrix}
H_1 \\
H_2 \\
\end{bmatrix}$

对系统做非奇异线性变换，$x=T^{-1}\hat{x}$，则系统可以等价的化为：
$$\begin{matrix}
\dot{\hat{x}}=\hat{A}\hat{x}+\hat{B}u \\ y=\hat{C}\hat{x}
\end{matrix}$$
其中$\hat{A}=TAT^{-1}= \begin{bmatrix}
A_{11} & 0 \\
A_{21} & A_{22} \\
\end{bmatrix},\hat{B}=TB=\begin{bmatrix}
B_1 \\
B_2 \\
\end{bmatrix},\hat{C}=CT^{-1}=[C_1 ~~ 0]$
则能观性分解的规范表达式为：
$$
\begin{matrix}
\begin{bmatrix}\dot{x_1} \\\dot{x_2}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x_1} \\{x_2}
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\B_2
\end{bmatrix} u
\\
y=\begin{bmatrix}{C_1} &{0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1} \\{x_2}
\end{bmatrix}
\end{matrix}
$$

能观规范型：对于单输入-单输出的完全能观系统

考虑完全能观的单输入-单输出系统：
$$\begin{matrix}
\dot{x}=Ax+bu \\ y=cx
\end{matrix}$$
其中$A$为$n\times n$常阵，$b,c$分别为$n\times 1 , 1 \times n$的常阵
令其特征多项式为：$det(sI-A)=\alpha(s)=s^n+\alpha_{n-1}s^{n-1}+ \cdots + \alpha_1s+\alpha_0$

构造变换矩阵
$$Q=\begin{bmatrix}
e_1\\
e_2 \\
\vdots \\
e_n\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_{n-1} & \cdots & \alpha_1\\
& \ddots & \ddots & \vdots\\
& & \ddots & \alpha_{n-1} \\
& & & 1\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
cA^{n-1}\\
cA^{n-2} \\
\vdots \\
c\\
\end{bmatrix}$$

则引入非奇异线性变换$\hat{x}=Qx$，可以导出其能控规范型为：
$$\begin{matrix}
\dot{\hat{x}}=A_O\hat{x}+b_O u \\ y=c_O\hat{x}
\end{matrix}$$
其中$$A_O=QAQ^{-1}=\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & -\alpha_{0}\\
1 & & & -\alpha_{1}\\
& \ddots & &\vdots \\
& &1 & -\alpha_{n-1}\\
\end{bmatrix},b_O=Qb=\begin{bmatrix}
\beta_0\\
\beta_1\\
\vdots \\
\beta_{n-1}\\
\end{bmatrix}C_O=\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1
\end{bmatrix}$$

对偶性原理：

称$
\begin{cases}
\dot{x} & = & A_1x+B_1u \\
y & = & C_1x
\end{cases}
$ 和 $
\begin{cases}
\dot{z} & = & -A_1^Tz+C_1^Tv \\
w & = & B_1^Tz
\end{cases}
$互为对偶

Ch5

最小实现

单输入单输出系统的传递函数

$$G(s)=\frac{c_{n-1}s^{n-1}+\cdots + c_1s+ c_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots + a_1s+a_0}$$

其中$a_i,c_i,i=0,1,\cdots n-1$为实常数。

则可写出其能控型实现$$A=\begin{bmatrix}
0 & 1& \\
\vdots & &\ddots\\
0 & & & 1 \\
-a_0 &-a_1 & \cdots& -a_{n-1}\\
\end{bmatrix},b= \begin{bmatrix}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}
c_0 & c_1 & \cdots c_{n-1}
\end{bmatrix}$$

和能观型实现：
$$A=\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & -\alpha_{0}\\
1 & & & -\alpha_{1}\\
& \ddots & &\vdots \\
& &1 & -\alpha_{n-1}\\
\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}
c_0\\
c_1\\
\vdots \\
c_{n-1}\\
\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1
\end{bmatrix}$$

单输入多输出系统：

传递函数矩阵$$G(s)=\frac{C_{n-1}s^{n-1}+\cdots + C_1s+ c_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots + a_1s+a_0}$$

其中$a_i,i=0,1,\cdots n-1$为实常数,$C_i,i=0,1,\cdots n-1$为$q\times 1$实常阵。

可以写能控型实现：
$$A=\begin{bmatrix}
0 & 1& \\
\vdots & &\ddots\\
0 & & & 1 \\
-a_0 &-a_1 & \cdots& -a_{n-1}\\
\end{bmatrix},b= \begin{bmatrix}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}
C_0 & C_1 & \cdots C_{n-1}
\end{bmatrix}$$

$A,B,C$分别为$n\times n,n\times 1, q\times n$常阵

单输出系统：

传递函数矩阵$$G(s)=\frac{C_{n-1}s^{n-1}+\cdots + C_1s+ c_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots + a_1s+a_0}$$

其中$a_i,i=0,1,\cdots n-1$为实常数,$C_i,i=0,1,\cdots n-1$为$1\times p$实常阵。

$$A=\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & -\alpha_{0}\\
1 & & & -\alpha_{1}\\
& \ddots & &\vdots \\
& &1 & -\alpha_{n-1}\\
\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}
C_0\\
C_1\\
\vdots \\
C_{n-1}\\
\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 & 1
\end{bmatrix}$$

$A,B,C$分别为$n\times n,n\times p, 1\times n$常阵

Ch6

全维状态观测器

考虑线性定常系统
$$\begin{matrix}
\dot{x}=Ax+Bu & x(0)=x_0,t\geq 0 \\
y=Cx
\end{matrix}$$

其全维状态观测器的形式为：
$$\begin{matrix}
\dot{z}=Fz+Gy+Hu & z(0)=z_0\\
\hat{x}=z
\end{matrix}$$
可以推出全维状态观测器为 $\dot{z}=(A-GC)z+Gy+Bu $

在全维状态观测器进行输出的动态反馈时，我们做$u=Kz+v$
则作用于系统构成的闭环系统为：

$$ \begin{bmatrix}\dot{x} \\\dot{z}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} A & BK \\ GC & A+GC-BK
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x} \\{z}
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B \\ B
\end{bmatrix} v
\\
y=\begin{bmatrix}{C} &{0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x} \\{z}
\end{bmatrix}$$

在题中，题目会给出观测器极点$a_1,a_2,\cdots a_n$，设$G=\begin{bmatrix} G_1 \\ G_2 \\ \vdots \\G_n
\end{bmatrix} $
则可写出$A-GC$，进而可以写出$det(sI-A+GC)$，将其和$(s-a_1)\cdots(s-a_n)$比较，可以写出$G$，进而可以求得状态观测器。

设计动态输出反馈时，会给出传递函数或者极点$\alpha_1,\cdots ,\alpha_n$（注意状态反馈不改变系统的零点）。设$K=\begin{bmatrix} K_1 & K_2 & \cdots & K_n
\end{bmatrix} $

则可求出$det(sI-(A+BK))$，将其与$(s-\alpha_1)\cdots (s-\alpha_n)$比较，可以求出$K$，进而写出动态输出反馈$$